「７２の法則」と「１１５の法則」だけ知っていれば、複利の計算は暗算でほぼカバーできます。

年利回り（％）と、その利回りで複利運用したときに資産が２倍になるまでの年数を掛けると大体７２になる

という法則、一度は聞いたことがあるのではないでしょうか。

今日はちょっと軽めに、７２の法則と、幅を拡げる応用について考察してみました。

７２の法則とその導出

７２の法則はあくまでも近似ですので、厳密解とは違いがあります。

ただ、僕が思っていたよりもかなり近似解に近く、また、年利１％〜１５％という実用域で使いやすい法則になっていることが分かりました。

まずは結論からですが、厳密解と７２の法則（とおまけで６９．３）を重ねたグラフです（両対数グラフ）。

厳密解が青、７２の法則が赤の実線ですが、年利１５％程度までは、ほぼ重なっていて７２の法則が優れた近似であることがうかがえます。

複利計算なのに、なぜここまでうまいこと重なるの？

と逆に疑問を持ってしまうぐらいですが、実際に計算してみるとこの謎が分かります。

年利xでy年、複利運用して２倍になるという式は

$$ (x+1)^y = 2$$

で表されますが、対数を取って式変形すると

$$ y \ln (x+1) = \ln 2 = 0.693$$

となります。

この時点でかなり７２の法則に近づいていますが、
まだ
$$ \ln (x+1) $$
がじゃまですね。

そこで、テイラー展開で近似し、
$$ \ln$$
を取ってしまいましょう。

ここでポイントは「ゼロ付近」で近似するということです。

利回りは数％から十数％程度ですので、ざっくりゼロ付近でいいのです。

$$ \ln (x+1) = x + x^2 ...$$

と、非常に簡単な式になりますね。

エイッ！と思い切って直線（１次）で近似してしまえば

$$ y x = 0.693$$

という、72(0.72)の法則に近い式ができあがりました。

実際のx(利回り)にはパーセント値が入りますから、右辺は0.693ではなくて、69.3になります。

ではなぜ、６９の法則にしなかったというと、それは諸説あって謎なようです。

ネットを検索すると、

• 実用で用いる10%付近の誤差を小さくしたかった（７２は8%付近で最適化されている）
• 覚えやすい数字にしたかった
• 割り算しやすい数字で実用的

などの理由があげられています。

８％の最適化というのも８％±７％という、非常に実用的な領域を近似していて合理的かつ絶妙だなと思います。

それらの理由に加えて、僕が思うに「７２がなんとなく、美しかった」というのもあったのではないでしょうか。

「美しい」という基準は、主観的で非論理的ですが、人々の間で物事が広がっていく理由として、「なんとなく美しい」とか、「なんとなく覚えやすい」という、ヒトの美的センスというのは絶対に無視できない要因だと個人的には思っています。

Wikipediaの72の法則によれば、１５世紀のイタリアで既に知られていた法則のようですが、最初に発見（？）した人は素晴らしい美的センスの持ち主だったのではないでしょうか。

近似の方法も大胆かつ繊細で、かなりの教養の持ち主だったと推測されます。

イマドキ複利計算なんて金融電卓やExcelでチョチョイのチョイですから、７２の法則自体、ほとんど無意味だという意見もあるようです。

が、僕が注目したいのは、電卓もExcelも当然なかった時代に、ここまで使いやすく、優れた近似を導出した人間の能力とセンスには感服せずにはいられない、ということ。

７２という、たった一つの数字にも、人間の奥深い可能性を見いだせるのです。

シンプルで美しい法則なだけに、余計インパクトがありますね。

７２と１１５の法則

さて、７２という数字一つとっても知的興味は尽きないわけですが、ある程度実用的であってもらわないとね…という意見もあって、それはそのとおり。

７２の法則は、それ単体でも十分役に立つのですが２（とその倍数）しか使えないという、もどかしさがあるのも事実です。

そこで、二番煎じで恐縮なのですが、「１１５」という数字も記しておきたいと思います。これは「資産が３倍になるまでの年数」を同様に計算するための数字です。

７２同様、８％に最適化した１１４でもいいのですが、９％に最適化した１１５の方が覚えやすいかなと思い、ここでは１１５を挙げておきます。

例えば、年利５％で２３年複利運用（５ｘ２３＝１１５）すると、資産が３倍になるという近似が得られます。

これも近似ですので厳密解とは異なりますが、７２と同様、年利１％〜１５％程度までであれば無理なく使えます。

このグラフを見れば、７２の法則とほぼ変わらない近似レベルなことが理解できるでしょう。

３倍になる年数が分かれば、２倍の年数と組み合わせることで

２倍＝２倍（７２の法則）
３倍＝３倍（１１５の法則！）
４倍＝２倍ｘ２倍
６倍＝２倍ｘ３倍
８倍＝２倍ｘ２倍ｘ２倍
９倍＝３倍ｘ３倍
…

と、計算の幅が格段に広がります。２と３というのは、とても便利な数字ですね。

例えば年利５％、複利で６倍になる年数を計算したければ、6=2x3なので、2倍になる年数と3倍になる年数を足せば資産が６倍になる年数が出ます。

２倍：７２÷５＝１４．４
３倍：１１５÷５＝２３

両者を足して：１４．４＋２３＝３７．４年という計算が簡単にできますね。

いずれも近似ですので、実用上はざっくり３７年でいいでしょう。ちなみに５％、６倍の厳密解は３６．７年でした。

これなら暗算か、スマホの電卓程度でできますので、会話の幅もグンと広がりそうですね！（ホントか？）

以上、取らぬ狸のなんとやらではありませんが、資産運用の豆知識でした。

長期運用は皮算用以上にコストが大事

利回りの計算はそれ自体で楽しいですが、特に長期の運用にあたってはコストの見積もりも大切です。

こちらの記事

個人型確定拠出年金(個人型DC/iDeCo)、運用商品とコストを徹底的に比較した結果…狙い目はココ！

なども、あわせて参考にしてください。

それと、当たり前なんだけど、でも実はあまり意識されていないのは、ちゃんと収支を見積って、余計なリスクを負わないようにする、というのが大事です。

具体的にはしっかりしたライフプランを作っておいて、運用益がなくても大丈夫であることを確認した上で、必要に応じて取れるリスクを取っていく、というアプローチが大切ですね。

これをしておかないと、ライフプラン上で苦しい時期に、運用の方も苦しくなった場合に破綻してしまう可能性が高くなってしまいます。

これでは、本末転倒ですよね。

とにかく長期投資は「やめずに続ける」ということが最も大事なポイントになってきますので、ライフプラン上で問題ないかどうかを先に見ておくのは必須条件と言えます。

ライフプランに関しては、こちらも参考にしてください。

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